Математика не для всех

Японские головоломки: искусство через логику

Японские кроссворды, или нонограммы, появились в конце XX века и сразу привлекли внимание необычным подходом: здесь не нужны слова — только логика и внимательность. Одной из создателей считается Нон Исида, иллюстратор, которая в 1970-х годах предложила идею пиктограмм как формы общения между человеком и животными. Вдохновлённая победой в конкурсе световых рисунков на небоскрёбах, она в 1988 году опубликовала первые «Window Art Puzzles». Параллельно другой японский автор, Тэцуя Нисио, предложил похожий формат под названием «Paint by Numbers». В 1989 году эти головоломки попали в британскую газету The Telegraph, где обрели широкую известность под именем «Griddlers», а в России — как «японские кроссворды».

Принцип решения прост, но требует логики: каждая строка и столбец имеют числовые подсказки, обозначающие группы подряд идущих закрашенных клеток. Между группами — хотя бы одна пустая клетка (в чёрно-белой версии). Задача — по этим числам определить, какие клетки в сетке закрасить, чтобы в итоге получилось изображение. Иногда достаточно начать с самых длинных групп, постепенно сужая возможные варианты. Более сложные задачи требуют многошаговых логических рассуждений. Цветные версии добавляют дополнительную сложность: группы разных цветов могут стоять вплотную, и при разгадывании нужно учитывать цвет каждого сегмента.

С математической точки зрения, японский кроссворд — NP-полная задача. Однако большинство качественно составленных головоломок можно решить исключительно логическим путём, без перебора.

Уловки, условности и девятки после запятой

Время от времени в интернет-пространстве всплывает математическое уравнение, способное моментально разжечь споры: 0,999… = 1. Оно выглядит как парадокс, уловка или ошибка — особенно для тех, кто не погружён в формальные определения чисел и пределов. Обычный аргумент звучит просто: раздели 1 на 3 (получишь 0,333…), умножь обратно на 3 и получишь 0,999… Но ведь начинали с единицы, значит 0,999… и есть 1? Скептики воспринимают это как игру в фокусы, и их подозрение не лишено основания: это доказательство опирается на привычные манипуляции, но не объясняет, что на самом деле происходит.

Чтобы разобраться, важно вспомнить, что десятичные числа — это просто способ записи, соглашение, в котором каждая цифра после запятой означает долю: десятые, сотые, тысячные и т.д. Например, число 1,203 означает 1 + 2/10 + 0/100 + 3/1000. Всё просто, пока речь идёт о конечных десятичных дробях. Сложности начинаются, когда цифры после запятой не заканчиваются — именно так устроено представление 0,999… Мы уже не говорим о конкретном числе, а о последовательности приближений: 0.9, 0.99, 0.999 и так далее.

Математическое понятие предела позволяет понять такие бесконечные записи. Если бесконечная последовательность чисел стремится к определённому значению (например, все члены становятся всё ближе к 1), то это значение и принимается за предел. Последовательность 0.9, 0.99, 0.999… стремится к 1 — и именно это имеется в виду, когда математики утверждают, что 0,999… = 1. Не потому, что мы "исхитрились", а потому что это предел определённой числовой последовательности. Неочевидность этого факта проистекает из путаницы между самой десятичной записью и числом, которое она представляет.

Эта путаница приводит к важному выводу: все числа в десятичной форме — это условность. Мы привыкли считать, что запись числа — это и есть число. Но в действительности — это соглашение о том, как его представлять. 1.0, 1.00 и 0.999… — разные записи, но одна и та же величина. Математика работает не с "магией цифр", а с определениями, структурами и пределами. Споры о равенстве 0.999… и 1 не про математику, а про восприятие — и неспособность принять, что разные формы записи могут указывать на одну и ту же сущность.

Занимательная схемка

На изображении показан магический куб 3×3×3, то есть трёхмерный аналог магического квадрата, где сумма чисел в каждой строке, столбце, слое и диагонали равна 42.

https://ia801309.us.archive.org/4/items/aprimerhighersp00braggoog/aprimerhighersp00braggoog.pdf

Один из пользователей math.stackexchange представил новое визуальное доказательство теоремы Пифагора. В его конструкции большой квадрат разбивается на несколько геометрических фигур, чьи площади суммируются и приводят к классической формуле , но без алгебраических преобразований — только через геометрию.

Автор распространил идею на более крупные конфигурации: квадрат со стороной 4c, 5c и т.д., предполагая, что таких разложений, а значит и доказательств, можно построить бесконечно много. Все они основаны на схожем принципе: повторяющийся узор, составленный из треугольников, квадратов и параллелограммов.

Многие из нас сталкивались с парадоксами — странными рассуждениями, которые, казалось бы, приводят к абсурду. В одних случаях выводы кажутся ложными, хотя сделаны строго по правилам. В других — логика, на первый взгляд, работает, но что-то внутри сопротивляется принятию результата. Чтобы разложить всё по полочкам, полезно посмотреть на парадоксы через призму формальной логики.

В философии и математике принято различать несколько типов парадоксов, хотя границы между ними не всегда чёткие. Одни парадоксы выглядят как корректное логическое построение, ведущее от истинных посылок к странному, но на самом деле верному выводу — это псевдопарадоксы. Другие убеждают нас в ложных выводах, но только потому, что внутри спрятана логическая ошибка — такие парадоксы можно назвать ложными. А если бы существовал парадокс, где из безупречно истинных посылок логика приводит к заведомо ложному выводу — это был бы подлинный вызов всей формальной системе. Но подобных примеров пока не найдено.

История логики уходит корнями в античность, где уже Зенон ставил перед слушателями загадки движения. Один из самых известных его парадоксов — о том, как Ахиллес, будучи в десять раз быстрее черепахи, якобы никогда её не догонит. Аргументация кажется убедительной: пока Ахиллес преодолевает путь до места, где была черепаха, та чуть продвигается вперёд, и так бесконечно. Но формальная логика и современная математика показывают, что это рассуждение опирается на ложные предпосылки — например, на неверное понимание бесконечных сумм. Мы знаем, что сумма бесконечного количества всё более коротких отрезков может быть конечной, и именно это разрушает парадокс.

Другой пример — "дихотомия": чтобы пройти любой путь, нужно пройти половину, потом половину оставшегося, и так далее. Здесь снова возникает ложное ощущение бесконечного процесса без конца. Однако идея, что бесконечное количество действий не обязательно требует бесконечного времени, опровергает это рассуждение.

Парадокс с неподвижной стрелой ещё тоньше. Он предполагает, что если в любой фиксированный момент времени стрела неподвижна, то она неподвижна вообще. Но движение — это не факт текущего положения, а отношение между положениями в разные моменты времени. Формальная логика различает свойства объектов в моменте и процессы, разворачивающиеся во времени.

Важно понимать, что эти парадоксы стали возможны не потому, что логика подводит, а потому что интуиция человека иногда не справляется с бесконечностью или понятием движения. Современная логика, особенно логика первого порядка, помогает не только распутывать такие парадоксы, но и чётко формализовать границу между правдоподобным и истинным, между кажущейся истиной и логической корректностью.

AlphaEvolve: как искусственный интеллект начинает открывать новую математику

В мае 2025 года Google представила AlphaEvolve — революционного ИИ-агента, который способен разрабатывать сложнейшие математические алгоритмы с помощью больших языковых моделей и эволюционного отбора. Эта система уже демонстрирует прорывные результаты: она не просто поддерживает учёных в доказательствах или вычислениях, а сама открывает новые решения давно открытых и открытых задач, предлагая оригинальные подходы, к которым человечество шло десятилетиями.

AlphaEvolve опирается на мощные модели Gemini, которые предлагают гипотезы и пишут код, и на встроенных автоматических оценщиков, проверяющих корректность и эффективность этих решений. Но в отличие от предыдущих поколений ИИ, этот агент не ограничен задачами автоматизации. Он способен развивать и видоизменять собственные подходы — словно участвует в исследовательском процессе как полноценный математик.

Самый яркий пример — новое решение задачи умножения комплексных матриц 4×4. AlphaEvolve нашла способ выполнить это с 48 скалярными умножениями — результат, превосходящий знаменитый алгоритм Штрассена, который считался эталоном с 1969 года. Более того, система не просто случайно наткнулась на улучшение: она прошла через 15 итераций мутаций и селекции, методично выводя эффективную структуру, которую можно математически интерпретировать и воспроизвести.

Система была также протестирована на более чем 50 открытых математических задачах из анализа, комбинаторики, геометрии и теории чисел. В 75% случаев AlphaEvolve воспроизвела лучшие на сегодня известные решения, что само по себе впечатляет. Но более важно то, что в 20% задач она предложила лучшие решения, повышая текущие нижние или верхние оценки, и тем самым реально продвигая границу знания.

Один из таких случаев — проблема поцелуев в 11-мерном пространстве. Задача, мучившая математиков более трёхсот лет, касается максимального количества сфер, касающихся центральной сферы. AlphaEvolve предложила конфигурацию из 593 внешних сфер, улучшив существующую нижнюю границу и тем самым внесла новый вклад в многомерную геометрию.

Что общего между хакерской атакой и защитой от неё?

И то, и другое сегодня используют нейросети и автоматизированные системы. Узнайте, как начать карьеру в сфере кибербезопасности на дне открытых дверей онлайн-магистратуры УрФУ и Нетологии «Современные технологии безопасных систем».

На встрече вы узнаете:

– кто такой аналитик SOC и специалист по безопасной разработке;
– какие навыки нужны, чтобы стать востребованным на рынке;
– что нужно для поступления и обучения онлайн.

📅 19 июня, 18:00 (Мск)
🔗 [Регистрация]

Реклама. ООО "Нетология", ИНН: 7726464125, erid: 2W5zFJgNQLY

При вычислении логарифма числа 0.6666666 на калькуляторе с высокой точностью получается -0.4054652…
Для сравнения, логарифм точного значения 2/3 — это -0.4054651…

Разница — всего одна цифра, на 7-й позиции после запятой. А дальше — неожиданно — цифры снова идут вровень: 8, 0, 8, 1, 0, 8… Совпадения продолжаются, будто расхождения и не было. Но затем, на 15-й и 22-й позициях, снова появляются отличия. И снова — длинная полоса совпадений.

Это не случайность. Число 0.6666666 отличается от 2/3 всего на 0.0000001. Логарифм такой разницы — крошечный, и его вклад в результат размазан по десятичным знакам: не сразу, а порционно — через 7, 15, 22, 29 и далее.

Да начнется битва