Я Математик

📉 Гипотеза Коллатца: Самая простая нерешенная задача

Ее феномен в том, что условия поймет даже первоклассник, но решить ее не могут лучшие умы планеты уже почти 100 лет.

Великий математик Пал Эрдёш однажды сказал про эту задачу: «Математика ещё не готова к таким проблемам». Вы можете проверить её сами прямо сейчас. 🎲 Правила игры Загадайте любое натуральное число. 1. Если оно четное, разделите его на 2. 2. Если оно нечетное, умножьте на 3 и прибавьте 1 (). 3. Повторяйте эти действия с полученным результатом. 🎢 Что происходит? Давайте попробуем с числом 7: 7 ⮕ 22 ⮕ 11 ⮕ 34 ⮕ 17 ⮕ 52 ⮕ 26 ⮕ 13 ⮕ 40 ⮕ 20 ⮕ 10 ⮕ 5 ⮕ 16 ⮕ 8 ⮕ 4 ⮕ 2 ⮕ 1. Стоп. Мы пришли к единице. Если продолжить от единицы: 1 x 3 + 1 = 4.4 / 2 = 2.2 / 2 = 1. Мы попали в бесконечный цикл 4 → 2 → 1. 🕵️‍♂️ В чем загадка? Какое бы число вы ни взяли - миллион, триллион, дату своего рождения - рано или поздно оно всегда падает в этот цикл 4-2-1. Числа ведут себя хаотично: они могут взлетать до небес (эти скачки называют «числами-градинами»), но в конце неизбежно обрушиваются в единицу. Гипотеза утверждает: Это верно для ВСЕХ чисел. Проблема: Никто не может это доказать. Суперкомпьютеры проверили числа вплоть до 2^68 (это невероятно много). И все они скатились в единицу. Но в математике «проверить много примеров» ≠ «доказать». Вдруг существует число-монстр, которое улетит в бесконечность или замкнется в другой цикл? Мы не знаем. ⚠️ Осторожно! Эта задача настоящая зараза. Многие математики тратили годы жизни, пытаясь найти закономерность в этом хаосе, и сходили с дистанции. В профессиональной среде шутят: «Не занимайся Коллатцем, если хочешь построить карьеру. Это путь в никуда». Попробуйте сами! Возьмите любое число (не слишком маленькое, скажем, 27) и посчитайте, сколько шагов ему нужно, чтобы умереть в единице. (Спойлер: для числа 27 это займет аж 111 шагов, и по пути оно взлетит до 9232!) Если было интересно - поддержите пост реакцией 🔥 (это помогает каналу) 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🍿Два хороших фильма по математике Любимое уравнение профессора История о добром и щедром профессоре, 10 лет назад попавшем в автомобильную аварию, после которой в его памяти стали удерживаться события не более чем 80 минут. В его жизни появляются два человека: домработница и ее десятилетний сын Рут. Со временем они начинают понимать красоту, скрытую в цифрах, их завораживает любовь профессора к математике. Мало-помалу они начинают исследовать фантастический мир математики, чисел, уравнений, мир, наполненный любовью, теплотой, чистотой и красотой. Он помогает им понять радость бытия, радость того, что они живы... https://www.youtube.com/watch?v=zdJ4kPFWK18 Гений математики Хан Джи-у учится в выпускном классе элитной школы со спецпрограммой, куда обычно берут детей обеспеченных родителей. Хотя сам парень из бедной семьи и попал сюда благодаря отличной успеваемости, здешняя программа по математике даётся ему с трудом. Однажды из-за дурацкой выходки Джи-у на месяц отчисляют из общежития, и, решив не расстраивать мать, парень напрашивается жить в каморке пожилого школьного охранника — перебежчика с Севера, которого ребята прозвали Коммунистическим офицером. А когда Джи-у выясняет, что тот неплохо решает самые сложные математические задачи, то уговаривает Коммунистического офицера стать своим репетитором. https://www.youtube.com/watch?v=RalppwqQOqI 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🏨 Парадокс «Гранд-отель»: Где «нет мест» не значит, что нельзя заселиться Представьте себе отель. Самый большой во Вселенной. В нем бесконечное количество номеров (1, 2, 3... и так далее). Однажды вечером вы подходите к стойке регистрации, но администратор разводит руками: - Извините, у нас аншлаг. В каждом из бесконечного числа номеров живет постоялец. Свободных мест нет. Абсолютно. В обычном отеле вы бы ушли искать ночлег в другом месте. Но это - отель Давида Гильберта. 🛎 Трюк №1: Одинокий путник Администратор улыбается: «Подождите секунду». Он берет микрофон и делает объявление:

"Уважаемые гости! Просьба каждому из вас переселиться в номер, номер которого на единицу больше вашего текущего. Гость из №1 переходит в №2, гость из №2 — в №3 и так далее".

Поскольку номеров бесконечно много, никто не остался на улице. Но номер 1 освободился! И вы спокойно туда заселяетесь. Математика: ∞ + 1 = ∞. Вы добавили гостя в полный отель, и место нашлось. 🚌 Трюк №2: Бесконечный автобус На следующую ночь к отелю подъезжает «Бесконечный автобус», в котором сидит бесконечное количество новых пассажиров. И всем нужны номера. Отель по-прежнему полон. Как быть? Освобождать по одному номеру придется вечность. Администратор снова берет микрофон:

"Уважаемые гости! Просьба всем переехать в комнату, номер которой в ДВА РАЗА больше вашей нынешней. Гость из №1 едет в №2, из №2 - в №4, из №3 - в №6..."

Что произошло? Все старые постояльцы разъехались по четным номерам (2, 4, 6...). А все нечетные номера (1, 3, 5...) - бесконечное множество! - освободились. Теперь можно заселить весь автобус. 🤯 В чем суть? Этот парадокс показывает, что наши интуитивные законы («если ведро полное, туда больше не нальешь») не работают с бесконечностью. В мире математики существуют разные типы бесконечностей, но для так называемых «счетных множеств» (как натуральные числа) работает правило: часть может быть равна целому. Итог: Бесконечность это не число. Это концепция, где всегда есть место для «еще одного». 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🦔 Теорема о причесывании ежа Звучит как шутка, но в учебниках по алгебраической топологии она официально называется Hairy Ball Theorem. Суть теоремы: Представьте сферу (шар), полностью покрытую волосами (векторами). Теорема гласит: невозможно причесать этот шар так, чтобы все волосы лежали гладко. Как бы вы ни старались, как бы ни заглаживали, на сфере обязательно останется хотя бы одна точка, где волос будет торчать перпендикулярно поверхности, или образуется «макушка» (вихрь), где волосы сходятся в точку.

Математически: На сфере не существует непрерывного касательного векторного поля, которое нигде не обращается в ноль.

🌪 Причем тут погода? Земля - это сфера (почти). Ветер - это те самые «волосы» (векторы движения воздуха вдоль поверхности). Согласно теореме о еже, на Земле в любой момент времени должна быть хотя бы одна точка, где ветер не дует вообще (скорость ветра равна нулю). Обычно эта точка - это «глаз» циклона или антициклона. То есть математика гарантирует: пока у нас есть атмосфера и планета в форме шара, ураганы и циклоны неизбежны. Мы не можем «причесать» климат. 🍩 А что можно причесать? Если бы Земля была плоской (привет конспирологам) или имела форму бублика (тора), проблемы бы не было. Бублик можно причесать идеально гладко, без вихрей и торчащих волос. Именно поэтому в термоядерной энергетике реакторы (Токамаки) строят в форме бублика, а не шара. Магнитные поля (те самые «волосы», удерживающие плазму) могут течь по бублику ровно, а на шаре они неизбежно создали бы «пробой» в точке вихря. Вывод: Если вы проснулись с вихром на голове, который невозможно уложить, не вините себя. Вините топологию вашей головы. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🤯 Число Грэма: Число, которое превратит ваш мозг в черную дыру Мы привыкли считать, что «гугол» (10^100) - это много. Мы знаем, что количество атомов во всей наблюдаемой Вселенной огромно (примерно (10^80) ). Но есть Число Грэма (G). И по сравнению с ним гугол - это даже не ноль. Это ничто. Насколько оно большое? Вы не можете записать Число Грэма. Даже если бы вы использовали каждый атом во Вселенной как чернила, и на каждом атоме написали бы по цифре... вам не хватило бы места. Вселенная слишком маленькая, чтобы просто записать это число, даже самым мелким шрифтом. Обычная запись степеней (типа 10^50) здесь не работает - башни из степеней просто смешны для описания масштаба. Математикам пришлось изобрести специальную «стрелочную нотацию Кнута» (↑↑↑), чтобы хоть как-то его обозначить. 💀 Почему оно может вас убить? Звучит как шутка, но есть физическое обоснование того, почему Число Грэма нельзя представить целиком. Согласно современной физике, информация - это энергия, а энергия эквивалентна массе (E=mc^2). Чтобы запомнить информацию, нейроны вашего мозга должны изменить состояние. Если вы попытаетесь загрузить в голову все десятичные знаки Числа Грэма, плотность информации (энтропия) станет настолько высокой, что ваш мозг сколлапсирует под собственным весом.

Буквально: Ваш череп превратится в маленькую черную дыру задолго до того, как вы запомните даже ничтожную долю этого числа.

Зачем оно вообще нужно? Это не просто бред сумасшедшего ученого. Число Грэма появилось как верхняя граница решения серьезной задачи в Теории Рамсея (раздел математики, изучающий порядок в хаосе). Оно отвечает на вопрос о гиперкубах в многомерных пространствах. Ответ находится где-то между 6 и... Числом Грэма. Итог: Математика - это единственная наука, где можно оперировать объектами, которые физически не могут существовать в нашей реальности, потому что они ее сломают. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🕵️‍♂️ Закон Бенфорда: Как математика ловит мошенников Если я попрошу вас загадать случайное число, скажем, от 1 до 10 000. Какова вероятность, что оно будет начинаться с цифры 1? Интуиция подсказывает: ну, всего цифр девять (1, 2, ... 9). Значит, вероятность для каждой - примерно 11% (1/9). А вот и нет. В реальном мире всё работает иначе. В чем суть закона? В большинстве наборов данных из реальной жизни, которые охватывают несколько порядков (например, от сотен до миллионов), числа не распределены равномерно. Существует странная магия: ▪️Примерно 30% всех чисел начинаются с единицы. ▪️Около 18% начинаются с двойки. ▪️... ▪️И только менее 5% чисел начинаются с девятки. Этот график убывающей вероятности называется Законом Бенфорда (или законом первой цифры). Где это работает? Это работает почти везде, где данные возникают естественным путем или в результате роста: 🔹 Население всех городов в стране. 🔹 Длины всех рек на планете. 🔹 Цены акций на бирже. 🔹 Размеры файлов на вашем жестком диске. 🔹 Числа в вашей налоговой декларации (если она честная!). Почему так? (Очень упрощенно) Представьте, что у вас есть 1000 рублей. Чтобы ваше состояние начало начинаться с двойки (2000), вам нужно удвоить капитал - рост на 100%. А чтобы состояние выросло с 8000 до 9000, нужен рост всего на 12.5%. Вы гораздо дольше "просидите" в зоне единицы, чем в зоне восьмерки или девятки. 🚨 Как это используют на практике? Это мощнейший инструмент для поиска мошенничества и подделок. Когда человек пытается придумать "случайные" числа (например, подделывая бухгалтерский отчет или результаты выборов), он подсознательно старается использовать цифры равномерно. Ему кажется подозрительным писать слишком много единиц. В итоге его фальшивый отчет нарушает Закон Бенфорда. Налоговые службы и аудиторы по всему миру используют этот математический трюк, чтобы автоматически находить подозрительные документы для проверки. Математика - лучший детектор лжи! P.S. Закон не работает на данных с жесткими рамками (например, рост взрослых людей - там почти всё начинается с 1 или 2) или на действительно случайных наборах вроде лотерейных номеров. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

Эпитрохоида Плоская кривая, образуемая точкой, жёстко связанной с окружностью, катящейся по внешней стороне другой окружности. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🍊 Парадокс Банаха-Тарского: Как математически клонировать материю Вы обещали фокус с апельсином. Вот он. Теорема утверждает: Можно взять твердый шар в трехмерном пространстве (наш апельсин), разрезать его на конечное число частей (на самом деле, достаточно всего 5 кусков!), а затем, просто поворачивая и передвигая эти части (не растягивая их!), собрать из них два точно таких же шара, идентичных первому по размеру и объему. Звучит как алхимия или нарушение всех законов физики. Как из 1 кг золота получить 2 кг? В чем секрет фокуса? Если вы попробуете разрезать реальный апельсин кухонным ножом, у вас ничего не выйдет. Фокус работает только в идеальном мире математики, и вот почему: 1. Это не обычные куски Когда мы говорим «разрезать на части», мы представляем дольки или кубики. Но в этом парадоксе «части» - это не твердые кусочки, а невероятно сложные, «дырявые» облака точек. Эти множества точек настолько странные, что они неизмеримы. У них нет объема в привычном понимании. Их нельзя взвесить. Грубо говоря, они похожи на бесконечно мелкую пыль, рассыпанную по объему шара хитрым способом. 2. Магия бесконечности Математический шар состоит из бесконечного количества точек, не имеющих размера. Этот парадокс показывает, что «бесконечность точек» одного шара можно хитрым способом переупорядочить в «бесконечность точек» двух шаров. 3. Главный ингредиент: Аксиома выбора Чтобы создать эти странные «части-облака», математикам нужен специальный инструмент - Аксиома выбора.

Очень упрощенно: Аксиома выбора разрешает нам брать по одному элементу из бесконечного количества коробок, даже если мы не можем сформулировать четкое правило, как именно мы их выбираем.

Многие математики начала XX века сопротивлялись этой аксиоме, потому что она приводит к таким вот странным результатам, которые невозможно представить наглядно. Но без неё современная математика развалится. Почему это не работает в реальности? Увы, мы не можем клонировать золото или еду. Парадокс Банаха-Тарского не работает в нашем мире, потому что материя не бесконечно делима. Реальный апельсин состоит из атомов. Их конечное количество, и они имеют конкретный размер. Вы не можете разбить атом на "облако точек" и собрать его заново. Банах-Тарский, это напоминание о том, что математическая модель реальности (идеальные точки и множества) - это не сама реальность. Но в этом абстрактном мире возможны настоящие чудеса. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

Геометрия за 1 минуту 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🎺 Рог Гавриила: Фигура, которую можно наполнить, но нельзя покрасить Представьте, что у вас есть ведро краски. Вы можете вылить эту краску внутрь бесконечной трубы, и она заполнится до краев. Но если вы попытаетесь покрасить эту же трубу снаружи кисточкой... вам не хватит всей краски во Вселенной. Звучит как бред сумасшедшего? Добро пожаловать в мир математического анализа и парадокса «Рог Гавриила». Что это за фигура? Математически этот объект строится очень просто. Возьмем график функции y = 1/x (обычная гипербола) на промежутке от x=1 до бесконечности и начнем вращать его вокруг оси x . Получившаяся воронка, уходящая в бесконечность, и есть Рог Гавриила. В чем соль парадокса? Если мы возьмем интегралы, чтобы посчитать объем и площадь поверхности этой бесконечной фигуры, произойдет магия: 1. Объем (): Вычисляется через интеграл от функции 1/x^2. Этот интеграл сходится. Итоговый объем равен ровно π (пи) . То есть, в этот бесконечный рог поместится вполне конкретное, конечное количество литров воды (или краски). 2. Площадь поверхности (A): Вычисляется через интеграл, близкий к функции 1/x. Этот интеграл расходится. Площадь поверхности равна бесконечности. Парадокс маляра: Вы можете заполнить рог конечным объемом краски (скажем, π (пи) кубических единиц), тем самым окрасив его внутреннюю поверхность. Но чтобы покрасить поверхность обычным слоем краски, вам потребуется бесконечное количество материала. Как это возможно? Математика работает с идеальными объектами. В абстрактном мире слой краски внутри рога становится тоньше и тоньше по мере того, как рог сужается, стремясь к бесконечно малой толщине, но никогда не достигая нуля. В реальном мире нас остановит физика: как только труба станет уже размера молекулы краски, жидкость просто перестанет туда течь. Но в мире идей этот рог - великолепный пример того, как конечное может вмещать в себя бесконечное. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike