Я Математик

🥔 Картофельный парадокс: Как высушить овощ и потерять половину веса? Давайте проверим вашу интуицию. Отвечайте быстро, не считая на калькуляторе. 📉 Задача Фермер собрал 100 кг картошки. Свежая картошка - это 99% воды и 1% сухого вещества (мякоти). Фермер оставил картошку на солнце. Она немного подсохла, и теперь содержание воды в ней составляет 98%. Внимание, вопрос: Сколько теперь весит вся куча картошки? 🧠 Что говорит интуиция? Мозг рассуждает так:

«Воды было 99%, стало 98%. Разница всего 1%. Значит, вес уменьшился совсем чуть-чуть. Наверное, теперь она весит 99 кг? Ну или 98 кг?»

Если вы подумали так же, поздравляю - вы попались. Это абсолютно неверный ответ. 💥 Правильный ответ Картошка теперь весит 50 кг. Вес уменьшился ровно в ДВА РАЗА. 🤯 📝 Как это возможно? (Математика на пальцах) Секрет в том, чтобы смотреть не на воду (которая испаряется), а на то, что остается неизменным - на сухое вещество. 1. В начале: У нас было 100 кг. Из них 99% вода и 1% мякоть. от кг = 1 кг мякоти. 2. Процесс: Вода испаряется, но этот 1 кг мякоти никуда не делся. Он остался лежать в куче. 3. В конце: Воды стало 98%. Значит, на долю мякоти теперь приходится 2% (100% - 98%). Получаем уравнение: 1 кг мякоти - это 2% от общего нового веса. Если 1 кг - это 2%, то 100% (полный вес) - это 50 кг. 🏁 Мораль: Математика процентов коварна. Незначительное изменение доли воды (всего на 1%) привело к катастрофическому изменению общей массы. Этот принцип работает не только с овощами, но и в инвестициях: если ваш портфель упал на 50%, вам нужно заработать 100% прибыли, просто чтобы вернуться в ноль.

Признавайтесь, кто сначала подумал про 99 кг?

📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

Вероятность и достоверность.  Борель Э. 1969 Предлагаемая книга написана в последние годы жизни выдающегося французского математика Эмиля Бореля, в ней охвачен почти весь спектр применений теории вероятностей в современном естествознании. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

💥 Теорема Гёделя о неполноте: День, когда математика сломалась До 1931 года математики жили в сладкой иллюзии. Они верили, что математика - это идеальная система. Что любое истинное утверждение можно доказать, если достаточно долго думать. Великий Давид Гильберт даже провозгласил лозунг: «Мы должны знать - мы будем знать!». А потом пришел 25-летний австриец Курт Гёдель и одной статьей разрушил эту мечту навсегда. 🤥 Парадокс лжеца Чтобы понять Гёделя, вспомните древний парадокс. Человек говорит: «Я лгу». • Если он говорит правду, значит, он лжет (как и сказал). Противоречие. • Если он лжет, значит, фраза «я лгу» - неправда. То есть он говорит правду. Снова противоречие. Гёдель перевел этот лингвистический трюк на язык строгой математики. 🔢 Атака изнутри Гёдель придумал хитрый способ зашифровать математические утверждения в числа. И с помощью этого кода он сконструировал уравнение, которое буквально говорило само про себя:

«Это утверждение нельзя доказать».

Перед математикой встал тупик: 1. Если мы МОЖЕМ это доказать, значит, утверждение ложно (ведь оно гласит, что его доказать нельзя). Тогда вся математика - враньё и противоречива. 2. Если мы НЕ МОЖЕМ это доказать, значит, утверждение истинно (оно действительно недоказуемо). Но тогда получается, что у нас есть истина, которую невозможно доказать. 🏁 Что это значит для нас? Гёдель доказал страшную вещь: Математика неполна. В любой достаточно сложной системе (даже в школьной арифметике!) всегда найдутся утверждения, которые являются истинными, но их невозможно ни доказать, ни опровергнуть внутри этой системы. Это как иметь пазл, в котором точно не хватает одной детали, но вы знаете, что картинка правильная. Итог: Мы никогда не узнаем всего. У логики есть границы. И это не потому, что мы глупые, а потому, что так устроена Вселенная. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

Математическая логика. Курс лекций и практических занятий автор С. Д. Шапорев В учебном пособии представлены разделы, традиционно изучаемые в курсе математической логики: алгебра логики и исчисление высказываний, логика и исчисление предикатов, рассмотрены вопросы содержательного и формального определения логики высказываний и логики предикатов. Дается введение в теорию алгоритмов и вычислимых функций. Содержание разделов книги взаимно связано друг с другом и снабжено большим количеством примеров и решенных задач, помогающих усвоить и закрепить излагаемый материал. 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🚪 Парадокс Монти Холла: Задача, которая поссорила математиков Представьте, что вы на телешоу. Перед вами три двери. • За одной дверью - новенький автомобиль. • За двумя другими - козы. Ведущий (Монти Холл) знает, где что спрятано. 1. Ваш выбор. Вы выбираете дверь, например, №1. 2. Действие ведущего. Монти Холл, чтобы подогреть интригу, открывает одну из оставшихся дверей, например, №3, и показывает, что там сидит коза. 3. Главный вопрос. Теперь остались закрытыми только дверь №1 (ваш выбор) и дверь №2. Ведущий спрашивает вас: «Хотите ли вы изменить свое решение и выбрать дверь №2?» 🤔 Что подсказывает интуиция? Большинство людей думают: «Какой смысл менять? Осталось две двери. За одной машина, за другой коза. Шансы 50/50. Неважно, сменю я дверь или останусь при своем, вероятность победы одинаковая». 🚨 И это фатальная ошибка. Интуиция вас обманывает. 🤯 Правильный ответ Вам ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сменить дверь. Если вы меняете решение, ваши шансы выиграть машину удваиваются (с 1/3 до 2/3). 💡 Почему так? (Объяснение на пальцах) Когда вы только начинали игру и выбрали дверь №1: • Шанс, что машина там - 1/3 (33%). • Шанс, что машина за другими двумя дверями (№2 и №3 вместе взятыми) - 2/3 (66%). Ведущий не открывает двери случайно. Он обязан открыть дверь с козой из оставшихся двух. Когда он открывает дверь №3 и показывает козу, он, по сути, говорит вам: «Смотри, вся вероятность 2/3, которая была сосредоточена в этой паре дверей, теперь перетекла в единственную закрытую дверь №2». Ваша дверь как имела шанс 1/3 в начале игры, так и имеет его сейчас. А другая оставшаяся дверь теперь имеет шанс 2/3. Самый простой способ понять: • Если вы НЕ меняете решение, вы выигрываете только в том случае, если угадали дверь с самого начала (шанс 1 из 3). • Если вы МЕНЯЕТЕ решение, вы выигрываете во всех случаях, когда изначально ошиблись и выбрали козу (шанс 2 из 3). Итог: Всегда меняйте дверь. Математика выгоднее упрямства!

P.S. Когда эту задачу опубликовали в журнале, тысячи людей, включая докторов наук, писали гневные письма, доказывая, что ответ неверный и шансы 50/50. Это одна из самых сильных иллюзий нашего мозга.

📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🎂 Парадокс дней рождения: Почему совпадения случаются чаще, чем мы думаем? Представьте, что вы собрали в одной комнате 23 человека. Футбольная команда с тренером и запасным. Или школьный класс. Как вы думаете, какова вероятность того, что у каких-то двух людей из этой группы день рождения совпадет (один и тот же день и месяц)? Интуиция подсказывает:

"Ну, в году 365 дней. Людей всего 23. Шанс должен быть ничтожным... может быть, 5-10%?"

🚨 Реальность: Вероятность совпадения - более 50%. Если в комнате 57 человек, вероятность совпадения уже 99%. 🤯 Как это работает? Наш мозг плохо считает вероятности для групп. Когда мы ищем совпадение, мы подсознательно сравниваем всех с собой: «У кого день рождения в тот же день, что у меня?». Но математика сравнивает каждого с каждым. 1. Первый человек сравнивается с 22 остальными. 2. Второй - с 21 оставшимся. 3. Третий - с 20... В группе из 23 человек образуется 253 пары. Это как лотерея, где вы покупаете не 23 билета, а 253. Шанс выиграть (найти совпадение) резко возрастает. 🔐 Почему это важно? (Кроме вечеринок) Этот принцип - ночной кошмар для программистов и специалистов по кибербезопасности. Он называется «Атака дня рождения». В криптографии, когда создаются цифровые подписи или хеши паролей, существует риск, что два совершенно разных пароля дадут одинаковый "отпечаток" (случайное совпадение, коллизия). Парадокс дней рождения учит нас: чтобы случайное совпадение стало вероятным, нужно гораздо меньше попыток, чем кажется на первый взгляд. Итог: Если вы окажетесь на вечеринке, где есть хотя бы 23 человека, можете смело спорить на деньги, что найдете пару с одинаковым днём рождения. В долгосрочной перспективе вы будете в плюсе! 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

📚 Подборка книг, которые прокачают ваше математическое мышление! • «Думай как математик» (Барбара Оакли) • «Магия математики» (Артур Бенджамин) • «Как не ошибаться» (Джордан Элленберг) • «Математика любви» (Ханна Фрай) • «Математическая смекалка» (Борис Кордемский) • «Математические головоломки профессора Стюарта» (И. Стюарт) • «5 минут на размышление» (Я. Перельман) • «Магия чисел» (А. Бенджамин и М. Шермер) • «Величайшие математические задачи» (И. Стюарт) • «Математика для взрослых» (К. Поскитт) 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

📊 Парадокс Симпсона: Как статистика обманывает ваш мозг Представьте ситуацию: вы выбираете хирурга. • Хирург А: Успешно провел 90% операций. • Хирург Б: Успешно провел 80% операций. Кого вы выберете? Конечно, А, верно? А что, если я скажу вам, что Хирург Б на самом деле лучше, и если вы хотите выжить, надо идти к нему? Это не ошибка. Это статистическая ловушка. 🎓 Реальный пример: Скандал в Беркли Самый известный случай произошел в 1973 году в университете Беркли. Администрация посмотрела на статистику поступления и ужаснулась: • Принято 44% мужчин. • Принято 35% женщин. Разрыв огромный! Университет обвинили в сексизме и дискриминации женщин. Началось расследование. Статистики начали проверять каждый факультет отдельно, чтобы найти виновных. 🤯 Поворот сюжета Когда они разбили данные по кафедрам, случилось невероятное. Оказалось, что на большинстве факультетов процент приема женщин был ВЫШЕ, чем у мужчин! Как такое возможно? • Глобально: Мужчин берут чаще. • Локально (на каждом факультете): Женщин берут чаще. 🕵️‍♂️ Разгадка Причина крылась в том, КУДА подавали документы абитуриенты. • Мужчины массово штурмовали технические факультеты, где было много мест и высокий процент приема (скажем, брали 60 из 100). • Женщины чаще подавали на гуманитарные специальности с безумной конкуренцией, где брали всего 5 человек из 100. Даже если женщины поступали блестяще и побеждали мужчин в конкурентной борьбе на своих факультетах, их общая статистика тянулась вниз, потому что они играли в «сложную игру», а мужчины - в «легкую». 💊 Где это опасно для жизни? В медицине. Вернемся к хирургам из начала поста. • Хирург А (90% успеха) оперирует только легкие случаи (удаление аппендицита), где риск умереть минимален. • Хирург Б (80% успеха) - гений, который берется за сложнейшие операции на сердце, от которых отказались остальные. У него умирают чаще, но только потому, что к нему везут безнадежных пациентов. Если не знать контекст (сложность операции), можно сделать фатальную ошибку, выбрав «статистически успешного» врача. Итог: Цифры сами по себе ничего не значат без контекста. Всегда спрашивайте: «А из чего складывается этот средний показатель?» 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

📉 Гипотеза Коллатца: Самая простая нерешенная задача

Ее феномен в том, что условия поймет даже первоклассник, но решить ее не могут лучшие умы планеты уже почти 100 лет.

Великий математик Пал Эрдёш однажды сказал про эту задачу: «Математика ещё не готова к таким проблемам». Вы можете проверить её сами прямо сейчас. 🎲 Правила игры Загадайте любое натуральное число. 1. Если оно четное, разделите его на 2. 2. Если оно нечетное, умножьте на 3 и прибавьте 1 (). 3. Повторяйте эти действия с полученным результатом. 🎢 Что происходит? Давайте попробуем с числом 7: 7 ⮕ 22 ⮕ 11 ⮕ 34 ⮕ 17 ⮕ 52 ⮕ 26 ⮕ 13 ⮕ 40 ⮕ 20 ⮕ 10 ⮕ 5 ⮕ 16 ⮕ 8 ⮕ 4 ⮕ 2 ⮕ 1. Стоп. Мы пришли к единице. Если продолжить от единицы: 1 x 3 + 1 = 4.4 / 2 = 2.2 / 2 = 1. Мы попали в бесконечный цикл 4 → 2 → 1. 🕵️‍♂️ В чем загадка? Какое бы число вы ни взяли - миллион, триллион, дату своего рождения - рано или поздно оно всегда падает в этот цикл 4-2-1. Числа ведут себя хаотично: они могут взлетать до небес (эти скачки называют «числами-градинами»), но в конце неизбежно обрушиваются в единицу. Гипотеза утверждает: Это верно для ВСЕХ чисел. Проблема: Никто не может это доказать. Суперкомпьютеры проверили числа вплоть до 2^68 (это невероятно много). И все они скатились в единицу. Но в математике «проверить много примеров» ≠ «доказать». Вдруг существует число-монстр, которое улетит в бесконечность или замкнется в другой цикл? Мы не знаем. ⚠️ Осторожно! Эта задача настоящая зараза. Многие математики тратили годы жизни, пытаясь найти закономерность в этом хаосе, и сходили с дистанции. В профессиональной среде шутят: «Не занимайся Коллатцем, если хочешь построить карьеру. Это путь в никуда». Попробуйте сами! Возьмите любое число (не слишком маленькое, скажем, 27) и посчитайте, сколько шагов ему нужно, чтобы умереть в единице. (Спойлер: для числа 27 это займет аж 111 шагов, и по пути оно взлетит до 9232!) Если было интересно - поддержите пост реакцией 🔥 (это помогает каналу) 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike

🍿Два хороших фильма по математике Любимое уравнение профессора История о добром и щедром профессоре, 10 лет назад попавшем в автомобильную аварию, после которой в его памяти стали удерживаться события не более чем 80 минут. В его жизни появляются два человека: домработница и ее десятилетний сын Рут. Со временем они начинают понимать красоту, скрытую в цифрах, их завораживает любовь профессора к математике. Мало-помалу они начинают исследовать фантастический мир математики, чисел, уравнений, мир, наполненный любовью, теплотой, чистотой и красотой. Он помогает им понять радость бытия, радость того, что они живы... https://www.youtube.com/watch?v=zdJ4kPFWK18 Гений математики Хан Джи-у учится в выпускном классе элитной школы со спецпрограммой, куда обычно берут детей обеспеченных родителей. Хотя сам парень из бедной семьи и попал сюда благодаря отличной успеваемости, здешняя программа по математике даётся ему с трудом. Однажды из-за дурацкой выходки Джи-у на месяц отчисляют из общежития, и, решив не расстраивать мать, парень напрашивается жить в каморке пожилого школьного охранника — перебежчика с Севера, которого ребята прозвали Коммунистическим офицером. А когда Джи-у выясняет, что тот неплохо решает самые сложные математические задачи, то уговаривает Коммунистического офицера стать своим репетитором. https://www.youtube.com/watch?v=RalppwqQOqI 📲 Мы в MAX 👉 @Pomatematike